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Frontera 'Fractal'.  Territorios vírgenes por explorar.
LA FRONTERA DE LA VIDA
 
Fractal de Mandelbort
Prof. Dr. Luis Garcia Diz
zn+1 = zn2 + c
 

La ventana superior es un "applet" escrito en "java" que le permitirá contemplar toda la belleza y complejidad generada por la figura de Mandelbrot.
  • El botón de "inicio" muestra la figura completa sobre el plano complejo, entre las coordenadas -1.75 y 0.5 para las abscisas, y -1.125 y 1.125 para el eje de ordenadas.
  • El botón de Zoom aumenta la resolución del cálculo, haciendo que las coordenadas del vértice superior izquierdo de la pantalla pasen a ser las que aparecen sobre la figura mientras se escoge el área que se ampliará (rectángulo blanco). Podrá ir ampliando sucesivamente la imagen para ver los detalles del borde, limite fractal de la figura, hasta que la resolución de su ordenador se lo permita. Cuando deje de ver un borde complejo piense que ello es debido a la falta de resolución del programa de cálculo y no a que haya desaparecido la complejidad en esa frontera.

Comienzo y diferentes resoluciones en el cálculo del conjunto de Mandelbrot
 
 
Al comenzar a ejecutarse el "applet" que aparece en la cabecera de esta página observará, después de un breve instante necesario para calcular el conjunto, el aspecto general que presenta en una zona del plano imaginario comprendida ente -1.75, 1.125 y 0.5, -1.125.
 
Las diferentes profundidades de cálculo estan prestablecidas en 64, 128 y 256 iteraciones por punto, y la pantalla posee 260 x 260 puntos (es decir 67600 multiplicado por el número de iteraciones que decida). Dependiendo de la velocidad de cálculo del ordenador en el que este visualizando esta página el tiempo de espera en el racálculo de las pantallas sucesivas puede variar notablemente. Al principio no es tan crucial disponer de resoluciones de cálculo altas, como puede verse en los ejemplos que muestran las gráficas superiores, pero a medida que se acerque a los bordes será conveniente ir aumentandola.
 

Uso del Zoom para viajar por el fractal
 
La forma de ampliar un área determinada es tan fácil como colocar la punta de la flecha del cursor en la zona que se desee, presionar el botón del ratón y sin soltarlo arrastrar el rectángulo blanco que se ira marcando sobre el dibujo hasta el lugar deseado y soltarlo. Si el área seleccionada, marcada en blanco, no es de su agrado puede volver a seleccionar otra repitiendo los mismos pasos (situarse sobre el comienzo, pulsar el ratón, arrastrar con el botón pulsado y soltar donde se desea terminar). 

Cuando tenga el área que quiera ampliar marcada pulse el botón inferior de "Zoom" y espere que se realicen los cálculos pertinentes y se muestre el dibujo en la pantalla.

 
En este ejemplo puede verse como la ampliación de una región del borde del conjunto revela nuevas complejidades inimaginables desde la perspectiva inicial.
 
Tras realizar el zoom verá en la pantalla del "applet" el valor de la ampliación efectuada y el tamaño de la base de la zona que se está visualizando en cada momento. Recuerde que la longitud de esta base al comenzar era de 2.25 unidades. Con estos datos tendrá una idea clara del tamaño de la zona que esta visualizando en cada momento.
 

Volver a empezar
 
 
Desde cualquier posición de Zoom se puede generar la imagen inicial para comenzar un nuevo recorrido por el conjunto de Mandelbrot sin mas que pulsar el botón de inicio, tal y como se muestra en las gráfica adjunta.
 
Es conveniente comenzar el estudio de las regiones del fractal con la  resolución mas baja (1) para acelerar la realización de los cálculos e irla subiendo a medida que profundicemos en él y escojamos regiones cada vez mas pequeñas, vistas con gran aumento.
 
Resolución en las profundidades del Fractal
 
 
En estas zonas en las que el aumento esta próximo a 50000 es posible ver con claridad la diferencia entre las tres resoluciones del "applet". Vale la pena esperar algo más para la realización de un cálculo de mayor profundidad, y poder observar el resultado mas ajustado del borde del conjunto.
 
Este ejemplo muestra además una de las peculiaridades de este conjunto: una "cuasiautosimilaridad". Podemos encontrar replicas "mutadas" del propio conjunto inicial en muchas regiones, como si el conjunto original estuviera hecho con miles y miles copias de si mismo, pero copias alteradas, no hay 2 iguales, son infinitas y todas distintas entre si (observe en la figura la asimetría entre los grandes lóbulos posteriores, superior e inferior, no presentes en el conjunto inicial en el que son simétricos).
 

Función dinámica que origina el Conjunto de Mandelbrot
 
Este conjunto de Mandelbrot es uno de los fractales mas conocidos, y se genera con una ecuación muy sencilla. Cada punto del espacio del plano complejo es el origen de un proceso dinámico regido por la siguiente función:

 

zn+1 =  zn2 + c
 

Cada vez se calcula un nuevo valor del sistema dinámico multiplicando el anterior por si mismo y sumándole una constante. Sobre el plano complejo, cada punto (z) puede ser representado por sus coordenadas sobre el eje de los números reales (a) y sobre el de los números imaginarios (b), analogos a las coordenadas ( x, y ) del plano cartesiano.
 

z  =  a  +  b i

Una constante es a su vez otro número complejo, que adoptará la forma genérica:
 

c  =  x  +  y i
 
En esta función definida por Mandelbrot la constante puede escogerse arbitrariamente, y para mayor simplicidad se usaran como "x" e "y" las coordenadas correspondientes al mismo punto que se está probando.
 
Sustituyendo en la ecuación inicial las expresiones imaginarias de las variables:
 
an+1 + bn+1 i  = a * a + 2 * a * b * i - b * b + x + y i
 
an+1 + bn+1 i = (a * a - b * b + x) + (2 * a * b + y) i
 

Agrupando los términos reales y los imaginarios:
 

an+1 = a * a - b * b + x
 
bn+1 = 2 * a * b + y.

El módulo del vector que representa el número imaginario es:
 

Modulo2 = a2 + b2
 

Si vamos representando los resultados y usando los nuevos valores encontrados como semilla para una nueva iteración, repitiendo el cálculo obtendremos la órbita del punto (lugares por los que pasa el sistema dinámico). Estas órbitas, mas o menos complejas, terminan por caer hacia el origen de coordenadas o por alejarse sistemáticamente de él, escapando al infinito. Si a la vez que calculamos el recorrido del punto obtenemos el valor que va tomando el módulo del vector resultado podemos usarlo como guía del destino final del proceso dinámico, ya que si supera el valor de 2 (o 4 su cuadrado) no volverá hacia el origen de coordenadas, terminando por migrar hacia el infinito. Usando este algoritmo podemos representar en color negro los puntos cuyas órbitas caen hacia el origen (0, 0) y en diferentes colores los que se alejan de él, variando el tono en funcion de la rapidez con que migran. Esta forma de proceder dibuja un mapa con un borde que separa el plano en dos regiones muy concretas, dibuja un borde fractal ...

Si usamos el número de iteraciones necesarias para alcanzar ese valor (4.0) como indicador de velocidad de escape, podemos representar un un mapa coloreado con 64, 128 o 256 tonos indicativos cada uno de ellos de la rapidez conque se alejan del origen los puntos en su evolución dinámica. Estos 2 números limitan la profundidad del cálculo, y por tanto el máxima tamaño de "zoom" que podemos aplicar al análisis de la frontera del conjunto de Mandelbrot. Mayor resolución implicaría más recursos de máquina, y mayor tiempo de cálculo de cada imagen.

El algoritmo de cálculo utilizado puede esquematizarse como sigue:

    obtener las coordenadas (x, y) del punto del plano que se va a probar
    a = 0
    b = 0
    contador = 0
    repetir
          temp = a
          a = temp * temp - b * b + x
          b = 2 * temp * b + y
          modulo2 = a * a + b * b
          contador = contador + 1
    hasta ((contador > 256) or (modulo2 > 4.0))
    asignar el color contador al punto de coordenadas (x, y).

Una de las propiedades más habituales de los fractales es su gran complejidad subyacente y autosimilaridad, o lo que es lo mismo la independencia de la escala a la que son observados. En este conjunto parece intuirse esa propiedad, aunque no es cierta, ya que a pesar del enorme parecido que ofrecen sus regiones contempladas a diferentes escalas, no se repiten nunca dos zonas iguales.
 


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Ultima revisión: 2 de enero de 2001.