Bioestadística
 

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Correlación y regresión lineales.
 
En una distribución bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algún tipo de relación entre si.
Por ejemplo, si se analiza la estatura y el peso de los alumnos o alumnas de una clase es muy posible que exista relación entre ambas variables: mientras más alto sea el estudiante, cabe pensar que mayor será su peso.
    El coeficiente de correlación lineal mide el grado de intensidad de esta posible relación entre las variables. Este coeficiente se aplica cuando la relación que puede existir entre las varables es lineal (es decir, si representaramos en un gáfico los pares de valores de las dos variables la nube de puntos se aproximaría a una recta).
 
 

    No obstante, puede que exista una relación que no sea lineal, sino exponencial, parabólica, etc. En estos casos, el coeficiente de correlación lineal mediría mal la intensidad de la relación las variables, por lo que convendría utilizar otro tipo de coeficiente más apropiado.

    Para ver, por tanto, si se puede utilizar el coeficiente de correlación lineal, lo mejor es representar los pares de valores en un gráfico y ver que forma describen.

    El coeficiente de correlación lineal se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Es decir:

Numerador: se denomina covarianza y se calcula de la siguiente manera: en cada par de valores (x,y) se multiplica la "x" menos su media, por la "y" menos su media. Se suma el resultado obtenido de todos los pares de valores y este resultado se divide por el tamaño de la muestra.

Denominador se calcula el produto de las varianzas de "x" y de "y", y a este produto se le calcula la raíz cuadrada.

Los valores que puede tomar el coeficiente de correlación "r" son: -1 < r < 1
Si "r" > 0, la correlación lineal es positiva (si sube el valor de una variable sube el de la otra). La correlación es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a 1.

Por ejemplo: altura y peso: los alumnos más altos suelen pesar más.

Si "r" < 0, la correlación lineal es negativa (si sube el valor de una variable disminuye el de la otra). La correlación negativa es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a -1.

Por ejemplo: peso y velocidad: los alumnos más gordos suelen correr menos.

Si "r" = 0, no existe correlación lineal entre las variables. Aunque podría existir otro tipo de correlación (parabólica, exponencial, etc.)

    De todos modos, aunque el valor de "r" fuera próximo a 1 o -1, tampoco esto quiere decir obligatoriamente que existe una relación de causa-efecto entre las dos variables, ya que este resultado podría haberse debido al puro azar.

Ejemplo: vamos a calcular el coeficiente de correlación de la siguiente serie de datos de altura y peso de los alumnos de una clase:
 


Alumno
Estatura
Peso
Alumno
Estatura
Peso
Alumno
Estatura
Peso
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Alumno 1
1,25
32
Alumno 11
1,25
33
Alumno 21
1,25
33
Alumno 2
1,28
33
Alumno 12
1,28
35
Alumno 22
1,28
34
Alumno 3
1,27
34
Alumno 13
1,27
34
Alumno 23
1,27
34
Alumno 4
1,21
30
Alumno 14
1,21
30
Alumno 24
1,21
31
Alumno 5
1,22
32
Alumno 15
1,22
33
Alumno 25
1,22
32
Alumno 6
1,29
35
Alumno 16
1,29
34
Alumno 26
1,29
34
Alumno 7
1,30
34
Alumno 17
1,30
35
Alumno 27
1,30
34
Alumno 8
1,24
32
Alumno 18
1,24
32
Alumno 28
1,24
31
Alumno 9
1,27
32
Alumno 19
1,27
33
Alumno 29
1,27
35
Alumno 10
1,29
35
Alumno 20
1,29
33
Alumno 30
1,29
34

Aplicando la fórmula:


(1/30) * (0,826)
r =
--------------------------------------------------------------
=0,719
(((1/30)*(0,02568)) * ((1/30)*(51,366)) ^ (1/2)

  Por lo tanto, la correlación existente entre estas dos variables es elevada (0,7) y de signo posítivo.
 

  Regresión lineal

 
    Si representamos en un gráfico los pares de valores de una distribución bidimensional: la variable "x" en el eje horizontal o eje de abcisa, y la variable "y" en el eje vertical, o eje de ordenada. Vemos que la nube de puntos sigue una tendencia lineal:

El coeficiente de correlación lineal nos permite determinar si, efectivamente, existe relación entre las dos variables. Una vez que se concluye que sí existe relación, la regresión nos permite definir la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos.

Una recta viene definida por la siguiente fórmula:
 


y = a + b x

Donde "y" sería la variable dependiente, es decir, aquella que viene definida a partir de la otra variable "x" (variable independiente). Para definir la recta hay que determinar los valores de los parámetros "a" y "b":

El parámetro "a" es el valor que toma la variable dependiente "y", cuando la variable independiente "x" vale 0, y es el punto donde la recta cruza el eje vertical.

El parámetro "b" determina la pendiente de la recta, su grado de inclinación.

La regresión lineal nos permite calcular el valor de estos dos parámetros, definiendo la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos.

El parámetro "b" viene determinado por la siguiente fórmula:

Es la covarianza de las dos variables, dividida por la varianza de la variable "x".

El parámetro "a" viene determinado por:
 


a = ym - ( b x m )

Es la media de la variable "y", menos la media de la variable "x" multiplicada por el parámetro "b" que hemos calculado.
 

Ejemplo: vamos a calcular la recta de regresión de la siguiente serie de datos de altura y peso de los alumnos de una clase. Vamos a considerar que la altura es la variable independiente "x" y que el peso es la variable dependiente "y" (podíamos hacerlo también al contrario):
 

Alumno
Estatura
Peso
Alumno
Estatura
Peso
Alumno
Estatura
Peso
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Alumno 1
1,25
32
Alumno 11
1,25
33
Alumno 21
1,25
33
Alumno 2
1,28
33
Alumno 12
1,28
35
Alumno 22
1,28
34
Alumno 3
1,27
34
Alumno 13
1,27
34
Alumno 23
1,27
34
Alumno 4
1,21
30
Alumno 14
1,21
30
Alumno 24
1,21
31
Alumno 5
1,22
32
Alumno 15
1,22
33
Alumno 25
1,22
32
Alumno 6
1,29
35
Alumno 16
1,29
34
Alumno 26
1,29
34
Alumno 7
1,30
34
Alumno 17
1,30
35
Alumno 27
1,30
34
Alumno 8
1,24
32
Alumno 18
1,24
32
Alumno 28
1,24
31
Alumno 9
1,27
32
Alumno 19
1,27
33
Alumno 29
1,27
35
Alumno 10
1,29
35
Alumno 20
1,29
33
Alumno 30
1,29
34
 
 
El parámetro "b" viene determinado por:
 

b =
(1/30) * 1,034
 
-----------------------------------------
= 40,265
(1/30) * 0,00856
 

Y el parámetro "a" por:
 


a = 33,1 - (40,265 * 1,262) = -17,714

Por lo tanto, la recta que mejor se ajusta a esta serie de datos es:


y = -17,714 +  40,265 x

Esta recta define un valor de la variable dependiente (peso), para cada valor de la variable independiente (estatura):
 


Estatura
Peso
x
x
1,20
30,6
1,21
31,0
1,22
31,4
1,23
31,8
1,24
32,2
1,25
32,6
1,26
33,0
1,27
33,4
1,28
33,8
1,29
34,2
1,30
34,6

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Ultima modificación: 15-V-2003.